В поисках числа π
В работе «Об измерении круга» отражены изыскания Архимеда в области соотношения длины окружности (L) и ее диаметра (d). Из утверждения 3 этого трактата следует, что длина окружности в 3,14 раз больше ее диаметра, то есть L = 3,14 d.
Если мы вспомним выражение, знакомое всем со школы (I = ? • d), то увидим, что Архимед нашел значение я с точностью до второго знака после запятой, то есть у него ? = 3,14. Это приближение использовалось все Средние века, а в некоторых случаях мы работаем с ним и сегодня, хотя и знаем, что на самом деле ? — иррациональное число с бесконечным числом знаков после запятой.
Техника, которую применил Архимед для нахождения данного соотношения, была основана на методе исчерпывания, описанном выше. То есть он взял окружность и вписал в нее шестиугольник. Между периметром шестиугольника и окружностью осталось пространство, не покрытое шестиугольником. Затем он описал еще один шестиугольник вокруг окружности. Между периметром данного шестиугольника и окружностью осталось пространство, не покрытое окружностью. Естественно, из этого следует, что длина окружности больше периметра вписанного в нее шестиугольника и меньше периметра шестиугольника, описанного вокруг нее.
Можно провести аналогичное умозрительное построение, если использовать понятие площади, причем так будет даже нагляднее. Целью в таком случае будет вычислить площадь круга, ограниченного данной окружностью. Мы знаем, что эта площадь высчитывается по уравнению S = ?r?. Заметим, что если принять радиус за единицу (r = 1), то площадь будет равна ?. Иначе говоря, если мы вычислим площадь окружности с радиусом 1, то получим число ?. Архимед предполагал построить круг и как вписывать в него, так и описывать вокруг него правильные многоугольники, начиная с шестиугольника. Площадь круга Sc будет больше площади вписанного шестиугольника SHp и меньше площади описанного SHG (см. серые сегменты на рисунке 1). Этим методом невозможно точно определить площадь, но можно установить ее пределы: 2,5981 < S < 3,4641, то есть она больше площади маленького шестиугольника (2,5981) и меньше площади большого (3,4641). Гениальная находка Архимеда состояла в том, чтобы удвоить число углов многоугольника, доведя его до 12-угольника (рисунок 2). В данном случае значение площади круга лежит между двумя более близкими величинами, так что расчет становится более точным, поскольку площади обоих многоугольников приближаются друг к другу.
РИС. 1
РИС. 2
Архимед продолжил удваивать число углов дальше и в конце концов дошел до многоугольника с 96 сторонами! Это позволило ему доказать, что значение площади круга лежит между 3+10/71 и 3+1/7:
«Окружность любого круга составляет три его диаметра и еще менее 1/7 и более 10/71 его части» («Об измерении круга», утверждение 3):
3 + 10/71 < Sc <3 + 1/7, то есть, 3,1408 < Sc < 3,14029.
Таким образом, площадь круга с радиусом 1 составит 3,14, с точностью до двух знаков после запятой. Тут важно отметить: Архимед знал, что он вывел неточное значение. Ведь помещая площадь между двумя разными значениями, ученый прекрасно понимал, что выполняет только приближение.
Окружность в квадрате
Согласно еще одному интересному рассуждению, которое можно найти в трактате «Об измерении круга», площадь вписанного в квадрат круга относится к площади этого квадрата как 11/14. И в данном контексте мы тоже приходим к тому же значению ? — приблизительно 3,14. Рассмотрим следствие из этого положения. Во- первых, давайте внимательнее посмотрим на чертеж справа.
Площадь круга: Sкруга = ?r?.
Площадь квадрата: Sквадрата = (2r)?=4r?.
Соотношения, которые их связывают:
площадь круга/площадь квадрата = ?r?/4r? = ?/4
То, что выяснил Архимед:
площадь круга/площадь квадрата = 11/14
Очевидно, что это одна и та же величина, и мы помним, что все выкладки Архимеда приблизительны:
?/4 ~ 11/14 ~ 3.14
Доказательство от противного
В трактате «Об измерении круга» утверждается:
Каждый круг равен прямоугольному треугольнику, один из катетов которого равен радиусу круга, а другой — длине окружности.
Имеется в виду равенство их площадей. Для доказательства (см. рисунок) ученый приводит следующие соображения.
— «Предположим, что площадь круга больше площади треугольника: Sкруга > Sтреугольника». Архимед показывает, что такое неравенство невозможно.
— «Предположим, что площадь круга меньше площади треугольника: Sкруга < Sтреугольника». Архимед доказывает, что невозможно и это.
— Учитывая, что площадь круга не может быть ни меньше, ни больше площади треугольника, они должны быть равны: Sкруга = Sтреугольника.
Пользуясь нынешним алгебраическим языком, вышесказанное можно доказать гораздо легче:
— Sкруга = ?r?.
— Sтреугольника = (основание • высота)/2 = 2?r*r/2 = ?r?
— Что означает: Sкруга = Sтреугольника.