Искусство нарезки параболоидов
В трактате «О коноидах и сфероидах» Архимед исследует тела, образованные сечением фигур вращения. Этот текст также предваряется письмом Досифею, в котором дается краткое резюме того, что адресат найдет в книге, — типичное вступление для Архимеда. После начальных определений и одной леммы видим 32 утверждения.
Параболоид (рисунок 14) — это трехмерная фигура, образованная вращением параболы вокруг своей оси; гиперболоид (рисунок 15) — трехмерная фигура, образованная вращением вокруг своей оси гиперболы; а эллипсоид (рисунок 16) — трехмерная фигура, которую образует вращающийся вокруг своей оси эллипс.
Иллюстрация утверждения 19 из трактата «О коноидах и сфероидах». Здесь можно видеть, как вписывается в параболоид и описывается вокруг него множество цилиндров одинаковой высоты.
Первые 20 утверждений носят вспомогательный характер. Утверждения 21-32 представляют собой самую важную часть трактата. В трактате «О коноидах и сфероидах» даются начала интегрального исчисления. Вводятся базовые принципы вычисления объемов криволинейных фигур вращения. Тем не менее до самого понятия интегрирования дело не дошло, потому что еще не была сформулирована концепция предела. Таким образом, основная идея текста состоит в приведении фигур вращения ко все более маленьким цилиндрам, как можно полнее вписывающимся в их объем (исчерпывание) или как можно ближе «облегающим» их снаружи (сжатие). Архимедов метод исчерпывания предстает здесь во всем своем блеске. Ученому нужно показать, что он может эффективно ограничить параболоид изнутри и снаружи. Это он и делает в утверждении 19: «Можно вписать в параболоид и описать вокруг него две фигуры, состоящие из цилиндров одинаковой высоты, так, чтобы описанная фигура превышала по объему вписанную на величину, меньшую любой заранее заданной». Это значит, что параболоид вписывается в «стопку» цилиндров-дисков» одинаковой толщины (узкие уплощенные цилиндры, ширина которых больше высоты, как у таблеток). И еще одна «стопка» цилиндров той же высоты вписывается в параболоид изнутри. Таким образом, объем параболоида будет больше общего объема вписанных в него цилиндров и меньше объема описанных. Как показано на рисунке, чем больше число таких «дисков» (при уменьшении их высоты), тем более приближается их общий объем к искомой величине. Принцип тут весьма похож на тот, что использовался при решении задачи квадратуры круга.