Что и требовалось доказать

БАРТ КОСКО

Профессор электротехники Университета Южной Калифорнии, автор книги Noise («Шум»)

Каждый должен быть знаком с принципом доказательства. Тогда все остальные виды убеждений отодвинутся на второй план. Доказательство – крайняя точка на шкале уверенности, показывающей разные степени сомнения. И большинство людей никогда в эту точку не попадают.

Ощущение доказательства приходит от него самого. Не от прочтения доказательства в книге и не от учителя. Оно приходит только тогда, когда человек сам совершает последний логический шаг по лестнице дедукции. Тогда он может поздравить себя, заявив: «Что и требовалось доказать!» – то есть он продемонстрировал то, что хотел. Доказательство необязательно должно быть оригинальным или удивительным. Оно лишь должно быть логически точным – как доказательство теоремы Пифагора.

Истинные доказательства, оправдывающие свое название, относятся к математике и формальной логике. Каждый шаг должен быть логически обоснован, поэтому каждый шаг (включая последний) имеет бинарную определенность. Вы как бы умножаете число «1» при доказательстве каждого шага. Результат все равно будет «1». Поэтому последний шаг позволяет заявить, что утверждение доказано, а невозможность доказать один из шагов ведет к остановке процесса. Любое гадание или «срезание углов» разрушает доказательство.

Получается, что в действительности мы можем доказать лишь тавтологию.

Великая бинарная истина математики логически эквивалентна тавтологии 1 = 1 или «зеленое зелено». Это отличается от утверждений, которые мы делаем относительно реального мира, – например, «у сосны зеленые иголки» или «молекулы хлорофилла отражают зеленый свет». Такие фактические утверждения являются приближением. Технически они неясны и туманны и часто сопоставимы с вероятностной неопределенностью: «У сосны, с большой вероятностью, зеленые иголки». Заметьте, что в последнем утверждении тройная неопределенность. Во-первых, неопределенность касается зеленых игл, потому что нет четкой границы между зеленым и незеленым. Во-вторых, можно лишь с определенной вероятностью сказать, что иглы сосны обладают смутным свойством быть зелеными. И наконец, степень самой вероятности. Ее туманно определяют как «большая» или «высокая», потому что нет определенной границы между высокой и невысокой вероятностью.

Никто еще не сформулировал фактического утверждения, которое имело бы такую же стопроцентную бинарную истинность, как математическая теорема. Даже самые точные энергетические предсказания квантовой механики ограничиваются несколькими десятичными знаками. Бинарная истина простирается на бесконечное количество десятичных знаков.

Ученым это хорошо известно. Логические предпосылки математической модели лишь примерно соответствуют реальному миру. Не совсем понятно, в какой степени это распространяется на предсказания, сделанные на основе моделей. Каждый неточный шаг снижает надежность выводов. Современные статистики стремятся к доверительным пределам, работая с большой выборкой, которая в достаточной степени соответствует бинарным предсказаниям модели. Во всяком случае, так мы можем повысить надежность, увеличивая количество данных.

Но даже такие несовершенные научные умозаключения во многом превосходят приблизительные силлогические выводы закона. В юриспруденции многие утверждают, что сходные предпосылки должны привести к сходным результатам. Но сходство предпосылок имеет собственную неопределенность, связанную с причинами поведения или скрытыми психическими состояниями. На практике это ведет к решению судьи, но технически это нелогичное заключение. Любое число от нуля до единицы будет меньше единицы. Так что уверенность в заключении может лишь уменьшаться по мере продвижения по цепи дедукции. Удар молотка не может заменить доказательство.

Такие приблизительные суждения – лучшая альтернатива доказательству в повседневной жизни. Повседневные аргументы, жужжащие у нас в голове, имеют малый логический вес. Именно поэтому всем нужно хоть раз в жизни что-нибудь доказать, чтобы ощутить, каково это. Редкие моменты абсолютной уверенности, делающие нас подобными божеству, помогут понять, чем доказательство отличается от всего остального.