Сингулярности

Сингулярность – эта такая точка, в которой математическая функция перестает работать. Функция в математике подобна компьютерной программе. В нее вводят числа, функция их обсчитывает и выдает ответ. Математики часто представляют функции визуально, в виде графиков. Вводимые числа откладывают по горизонтальной оси, а результат изображают в виде кривой.

Рассмотрим, например, функцию, в которую вводят расстояние до массивного объекта, а в качестве результата получают величину гравитационного притяжения, порождаемого в данной точке этим массивным объектом. Ньютон осознал, что такое притяжение становится тем слабее, чем больше расстояние до объекта. Он открыл очень точное соотношение между величиной притяжения и расстоянием. Если я нахожусь на расстоянии х от планеты, то, согласно функции Ньютона, сила гравитационного притяжения пропорциональна 1/х². Это так называемый закон обратных квадратов. Можно нарисовать график этой функции.

График функции 1/x². Функция имеет сингулярность в точке x = 0

Однако при приближении к объекту происходит нечто интересное. Сила становится все больше и больше, пока мы не доходим до точки х = 0, в которой результат становится бесконечным, а на графике нельзя отложить значение. Разумеется, в реальности такое расстояние измеряется от центра планеты и при достижении ее поверхности функция и график изменяются, потому что после прохождения сквозь поверхность планеты разные ее части начинают оказывать притяжение в других направлениях. В центре тяжести планеты все разнонаправленные притяжения уравновешиваются и суммарное гравитационное притяжение равно нулю. Но что будет, если заменить планету на черную дыру, пространственную область, вся масса которой должна быть сосредоточена в единственной точке? Эта точка имеет бесконечную плотность, и при приближении к ней гравитационное притяжение становится бесконечным.

Тот факт, что данная функция не имеет смысла при х = 0, математики называют сингулярностью. Сингулярности бывают разные, но все они содержат точку, в которой функция не дает разумных результатов или имеет разрывный скачок от одного значения к другому.

Очень примитивный пример сингулярности можно получить, если взять монету и закрутить ее на столе. В отсутствие трения и сопротивления воздуха монета вечно продолжала бы вертеться с постоянной скоростью. Однако вследствие наличия рассеяния энергии монета вечно вертеться не будет. Вместо этого угол ее наклона к поверхности стола уменьшается, но, что интересно, пропорционально ему увеличивается скорость ее вращения. По мере приближения угла к нулю скорость в конце концов становится бесконечной. На последних стадиях вращения монета падает на стол, вибрируя и издавая жужжащий звук, частота которого быстро увеличивается, пока наконец дрожащая монета не останавливается.

Уравнения движения показывают, что скорость вращения монеты возрастает так, что через конечное количество времени она достигает бесконечного значения. Именно этот эффект мы слышим, когда увеличивается частота звука. Вертящаяся монета дает нам пример сингулярности. Разумеется, при этом действуют и другие эффекты, которые не допускают полного осуществления такой математической бесконечности, но этот пример показывает, что для получения бесконечности из физического уравнения не обязательно бросаться в черную дыру.

Даже Ньютоновы уравнения планетарного движения могут порождать сингулярности. Как я объяснял в конце первого «рубежа», математик Ся Чжихун показал, что четыре планеты можно расположить таким образом, что пятая планета будет вытолкнута из их среды и наберет бесконечную скорость за конечное время. Уравнения ничего не говорят о дальнейшей судьбе такой планеты, ожидающей ее после этой астрономической сингулярности.

Сингулярности обычно соответствуют моментам, в которые в игру вступает бесконечность и развитие событий после которых предсказать невозможно. Такие сингулярности могут возникать не только в физике. Известен пример статьи, которую опубликовали в 1960 г. Хайнц фон Фёрстер, Патриция Мора и Лоуренс Амиот, предсказывая серьезную сингулярность, которая должна произойти здесь, на Земле[96]. Если скорость роста населения и дальше будет следовать закономерностям, наблюдавшимся до 1960 г., то население нашей планеты должно стать бесконечным 13 ноября 2026 г. Особо отметим для суеверных, что этот день выпадет на пятницу.

Простейшая модель роста популяции утверждает, что этот рост имеет экспоненциальный характер. Например, численность некоторого вида может удваиваться каждые 50 лет. В такой модели популяция быстро разрастается, но никогда не становится бесконечной. Но анализ исторических данных, проведенный авторами этой статьи, говорил о том, что период удвоения численности человечества становится все короче и короче.

Когда-то удвоение численности населения Земли заняло 1650 лет, с 250 миллионов в нулевом году нашей эры до 500 миллионов в 1650-м. До миллиарда эта численность дошла за следующие 200 лет, к 1850 г. Следующее удвоение заняло всего 80 лет. Всего через 44 года после этого, в 1974 г., население планеты достигло четырех миллиардов. Скорость роста превышала экспоненциальную. Поэтому на основе данных, имевшихся к 1960 г., авторы статьи оценили, что население Земли должно достичь сингулярности приблизительно через десятилетие после нынешнего момента.

Другой пример такого суперэкспоненциального роста можно найти в скорости увеличения вычислительной мощности компьютеров. Существует утверждение, называемое законом Мура, согласно которому производительность компьютеров удваивается каждые 18 месяцев[97]. С такой скоростью роста компьютеры становятся все мощнее, но никогда не достигнут сингулярности. Однако высказывались и другие предположения: что сокращение периода удвоения населения справедливо также и для технологий. Возможность технологической сингулярности послужила основой так называемого движения сингулярианства. Его идеи были популяризованы изобретателем и футурологом Рэем Курцвейлом в книге «Сингулярность уже близка» (The Singularity Is Near), согласно которой человечество должно достичь сингулярности в 2045 г. Курцвейл считает, что к этому моменту человечество сумеет создать искусственный разум, превосходящий наш собственный. В этот же момент исчезнет наша способность предсказывать, как будет выглядеть жизнь после такой сингулярности.

Математическим уравнениям следует доверять с осторожностью, потому что может существовать какой-то скрытый элемент, который становится важным только при приближении к сингулярности и играет неожиданно важную роль в предотвращении физической реализации такой бесконечности. Это явно происходит в случае роста численности человечества: конечность поверхности Земли создает предел, который рано или поздно ограничит численность населения.

Сходные факторы могут действовать и в случае Большого взрыва и черных дыр. Кое-кто предполагает, что уравнения общей теории относительности неприменимы к таким экстремальным условиям. Например, в уравнения гравитации Эйнштейна, возможно, следует ввести еще один член, который вступает в действие только при приближении к сингулярности. Это изменит и происходящее при приближении к сингулярности Большого взрыва, но такой дополнительный элемент останется практически незаметным, пока дело не дойдет до действительно экстремальной ситуации. Он подобен тем тонким изменениям, которые Эйнштейну пришлось внести при рассмотрении движения с околосветовой скоростью: на малых скоростях дело ограничивается простым прибавлением скорости, но, как понял Эйнштейн, при приближении к скорости света необходимо действовать с большей осторожностью. Как я объяснял в предыдущей главе, формула скорости человека, бегущего вдоль движущегося поезда относительно платформы, дается сложением скоростей человека и поезда, но затем ее нужно разделить на вторую формулу. На малых скоростях значение этой второй формулы настолько близко к единице, что эффект такого деления пренебрежимо мал, – именно поэтому до Эйнштейна ученые считали, что скорости просто складываются. Но вблизи скорости света определяющим становится другая закономерность. То же может быть справедливо и в отношении Большого взрыва или черной дыры. Уравнениям общей теории относительности может быть необходим дополнительный член, оказывающий заметное действие только в случаях экстремально сильной гравитации.

Но, если Вселенная все-таки содержит сингулярные точки бесконечной плотности, как они могут влиять на время? Эйнштейн выяснил, что увеличение гравитации замедляет время. Что же произойдет с моими часами, если я приближусь к такой сингулярной точке предельно высокой гравитации?