Числа на грани

Хотя многие из первых геометрических доказательств конструктивны, древние греки также использовали свои новые математические инструменты для доказательства невозможности, непознаваемости некоторых вещей. Мы уже видели один яркий пример такого доказательства: квадратный корень из 2 не может быть выражен в виде отношения двух целых чисел.

Это доказательство обладает большой нарративной силой: оно увлекает читателя в путешествие, исходя из предположения, что длина диагонали может быть выражена в виде дроби. По мере невинного на вид развития сюжета мы все дальше и дальше углубляемся в кроличью нору этой истории, пока наконец не доходим до совершенно абсурдного вывода: четные числа есть числа нечетные и наоборот. Мораль сей басни заключается в том, что предполагаемая дробь, выражающая искомую длину, может быть лишь иллюзией. Для желающих совершить путешествие вниз по кроличьей норе эта история изложена в рамке на следующей странице.

Тем, кто впервые встречался с числом, подобным квадратному корню из двух, оно должно было казаться объектом, который по самой своей природе не подлежит полному познанию. Знать число означало записать его, выразить через уже известные числа. Но это число, по-видимому, не поддавалось никаким попыткам записать его значение.

Это был необыкновенный момент в истории математики – создание совершенно нового вида чисел. Можно было упорно утверждать, что уравнение х² = 2 вообще не имеет решения. В то время числа, которые могли дать точное решение этого уравнения, не были известны. Собственно говоря, математический аппарат, достаточно сложный, чтобы придать таким числам смысл, появился только в XIX в. И все же было ощущение, что такое число существует. Его можно было видеть – вот оно, длина стороны треугольника. В конце концов математики решились добавить к нашему математическому инструментарию новые типы чисел, которые позволили нам решать такие уравнения.

Существовали и другие уравнения, казавшиеся нерешаемыми, причем их ответ был не так нагляден, как квадратный корень из двух, – и тем не менее нам удалось создать и такие решения. С современной точки зрения решение уравнения х + 3 = 1 кажется нетрудным: х = –2. Но у греков не было числа, позволяющего выразить это решение. Диофант Александрийский называл такие уравнения абсурдными. По мнению математиков, подобных Диофанту, числа были геометрическими объектами: они выражали реально существующие вещи, длины отрезков. Такого отрезка, длина которого станет равна единице после удлинения на три единицы, не существует.

Другие культуры не так легко признавали свое поражение перед лицом такого уравнения. В Древнем Китае числа использовали для подсчета денег, а там, где дело касается денег, часто возникают и долги. Легко можно представить себе обстоятельства, в которых я добавляю в свой кошелек три монеты и обнаруживаю, что в нем осталась всего одна. Две остальные монеты могли уйти на оплату долга другу. В 200 г. до н. э. китайские математики использовали для представления чисел красные палочки; однако палочки, которые использовали для подсчета долгов, были черными. Отсюда и пошла традиция записывать убытки в бухгалтерских книгах красными чернилами – только где-то по дороге цвета успели поменяться.

Доказательство иррациональности квадратного корня из 2

Пусть L – длина гипотенузы прямоугольного треугольника, длина обоих катетов которого равна 1. По теореме Пифагора, площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах. Но площадь обоих меньших квадратов равна 1, а площадь большего квадрата равна L². Таким образом, L есть число, квадрат которого равен 2.

Предположим, что L равно отношению двух целых чисел: L = p/q.

Можно предположить, что одно из чисел p и q – нечетное. Если оба эти числа четные, числитель и знаменатель дроби можно делить на 2 до тех пор, пока одно из чисел не станет нечетным.

Из L² = 2 следует, что p²/q² = 2.

Умножим обе стороны равенства на q²: p² = 2 ? q².

Итак, четное число р или нечетное? Мы знаем, что р² – четное число, поэтому и р должно быть четным, так как нечетное число в квадрате также дает нечетное число. Значит, р = 2 ? n для некоторого числа п. Раз р – четное число, то q должно быть нечетным. Но подождите секундочку…

2 ? q² = p² = (2 ? n)² = 2 ? 2 ? n², и, разделив обе части этого равенства на 2, мы получим: q² = 2 ? n².

Вспомним, что раньше мы выяснили, что q – нечетное число.

Значит, и q² должно быть нечетным. Но правая часть этого уравнения равна четному числу! Итак, если длина L может быть выражена в виде дроби, то четность равна нечетности. Поскольку такой вывод явно абсурден, наше исходное предположение о возможности выразить L в виде отношения двух целых чисел должно быть ложным.

По-моему, это одно из самых потрясающих доказательств в математике. Мы показали при помощи конечного логического рассуждения, что существует длина, для выражения которой требуется бесконечное число.

Первая теория отрицательных чисел возникла в VII столетии в Индии. В частности, Брахмагупта установил некоторые важные математические свойства таких чисел, например что «долг, умноженный на долг, приносит богатство» – то есть что минус на минус дает при умножении плюс. Интересно отметить, что это положение – не самостоятельный закон, а следствие из аксиом математики. Его доказательство представляет собой весьма увлекательную задачу. Европейцы убедились в существовании чисел, позволяющих решать уравнения такого рода, лишь к XV в. В XIII в. употребление отрицательных чисел даже было запрещено во Флоренции.

Новые числа появлялись и дальше, особенно когда математики столкнулись с проблемой решения уравнений типа х² = –1. На первый взгляд решение казалось невозможным. Ведь если взять положительное число и возвести его в квадрат, результат будет положительным, а как доказал Брахмагупта, квадрат отрицательного числа также положителен. Когда математики эпохи Возрождения встречали это уравнение, их первой реакцией было предположение о невозможности его решения. И тогда итальянский математик Рафаэль Бомбелли сделал следующий радикальный шаг: он предположил, что существует некое новое число, квадрат которого равен –1. Оказалось, что такое число можно использовать для решения огромной массы уравнений, которые до этого считались нерешаемыми. Интересно, что в некоторых случаях такое мнимое число требовалось лишь в промежуточных вычислениях и не входило в конечный ответ, который содержал только уже привычные, обычные числа, явно дающие решение данного уравнения.

Все это выглядело как математическая алхимия, но многие отказывались допустить новые числа Бомбелли в каноническую математику. Декарт писал о них довольно презрительно, отвергая такие числа как мнимые. С течением времени математики осознали не только их силу, но и тот факт, что их введение в математику, по-видимому, не порождает никаких противоречий. Мнимые числа заняли причитающееся им место в математике только в начале XIX в., отчасти благодаря картинке, которая помогла математикам зримо представить их себе.

Обычные числа (называемые в математике вещественными) были отложены по горизонтальной оси. Мнимые числа, такие как i, как был обозначен квадратный корень из –1, были представлены на вертикальной оси. Эта двумерная картина мнимых, или комплексных, чисел внесла большой вклад в примирение с этими новыми числами. Сила этого представления была подтверждена открытием того факта, что геометрия этой картины отражает арифметику чисел.

Существуют ли еще и другие числа, скрытые за этой гранью, еще не открытые? В надежде открыть другие новые числа можно попробовать рассмотреть другие странные уравнения. Например, как насчет уравнения х⁴ = –1?

Может быть, для решения этого уравнения необходимы какие-то новые числа? Но одна из величайших теорем XIX в., называемая теперь основной теоремой алгебры, доказала, что использование мнимого числа i и вещественных чисел позволяет решить любое алгебраическое уравнение. Например, если взять

и возвести его в четвертую степень, результат будет равен –1. Мы достигли грани, за которой решение уравнений более не позволяет находить новые числа.