Четно или нечетно количество моих игральных костей?

Наше путешествие по науке выявило несколько весьма труднопреодолимых рубежей познания. Но помимо этого остается и фундаментальный эпистемологический вопрос: можем ли мы вообще знать хоть что-нибудь? 2000 лет назад Сократ заявил: «Истинное знание состоит в том, что мы ничего не знаем»[131]. Признание собственного незнания есть единственное истинное утверждение о знании.

Философы написали многие тома, пытаясь разобраться с теорией познания и установить, что же мы можем знать, определить, что мы называем знанием. Платон предложил определить знание как «обоснованное истинное мнение», но Бертран Рассел, а затем, в 1960-х гг., американский философ Эдмунд Гетье усомнились в том, что это определение действительно отражает сущность знания.

В классическом примере, предложенном Бертраном Расселом, речь идет о женщине, которая смотрит на часы, показывающие два часа. Поэтому она считает, что сейчас два часа. Ее мнение кажется обоснованным, поскольку это время показывают часы. И в этот момент действительно два часа. Но часы на самом деле остановились 12 часов назад, и то, что женщине случилось посмотреть на них именно через 12 часов после этого, – простое совпадение.

Гетье создал сходные сценарии «обоснованного истинного мнения». Вы смотрите на поле и, как вам кажется, видите там корову. Вы делаете вывод, что в поле пасется корова. На самом деле корова в поле есть, но вы ее видеть не можете, потому что она находится в ложбине. У вас есть истинное утверждение. Оно основано на обоснованном мнении, и то, что вы видите, несомненно выглядит в точности как корова. Но из истинности сделанного вами утверждения не следует наличия знания.

Мы можем представить себе ситуацию, в которой мы выработали утверждение об устройстве Вселенной, действительно соответствующее истине. Но обоснование этого утверждения абсолютно ложно, хотя оно и привело нас к истинному утверждению. Уж конечно в такой ситуации нельзя говорить о знании истинности этого утверждения. Я не раз придумывал доказательства истинных математических утверждений, содержавшие логические ошибки (которые я надеюсь заметить до отсылки очередной статьи в журнал). Но мои ложные доказательства не могут служить обоснованием моего знания истинности того или иного математического утверждения.

Я не знаю, истинна или ложна гипотеза Римана. Однако несколько человек уже предлагали доказательства, которые, по их мнению, подтверждали истинность этой гипотезы, и представляли для обоснования своего мнения многие страницы уравнений. В большинстве случаев в таких доказательствах обнаруживались ошибки. Когда такие ошибки предъявляют автору доказательства, это разрушает его обоснованное мнение. Но что будет, если такое ошибочное доказательство убедит всех? Предположим, что ошибка чрезвычайно малозаметна. Мы не можем сказать, что мы знаем, что гипотеза Римана истинна, несмотря на наличие у нас обоснованного истинного мнения. Не может же обоснованное истинное мнение проистекать из ложного обоснования.

Некоторые астрономы древности предполагали, что Земля обращается вокруг Солнца, но их обоснования этого факта были ошибочны. В IX в. до н. э. индийский философ Яджнавалкья аргументировал свою веру в гелиоцентрическую систему следующим утверждением: «Солнце привязывает к себе нитью все эти миры – Землю, планеты, атмосферу». Можно ли утверждать, что он знал, что Земля обращается вокруг Солнца?

Я, наверное, соглашусь с моим коллегой по Нью-колледжу Тимоти Уильямсоном, который утверждает в своей книге «Знание и его пределы» (Knowledge and its Limits), что знание следует рассматривать как нечто фундаментальное, неопределимое через другие понятия. Кажется, все мы знаем, что значит слово «знать». Оно – одно из всего лишь приблизительно сотни слов, для которых существует адекватный перевод на все языки мира. Например, такой базовый глагол, как «есть», в это число не входит.

От Уильямсона же я узнал о фантастическом логическом фокусе под названием «парадокс непознаваемости»[132], который доказывает, что если мы не знаем вообще всего, то некоторые истины всегда будут оставаться непознаваемыми по самой своей природе. Этот парадокс приписывают американскому логику Фредерику Фитчу, который опубликовал его в своей статье 1963 г.[133]. Фитч признавал, что исходным источником его рассуждения был на самом деле комментарий анонимного рецензента на его статью, которую Фитч пытался, но так и не смог опубликовать в 1945 г. Многие годы имя рецензента, создавшего эту логическую жемчужину, оставалось загадкой. Однако в результате последующих изысканий обнаружился рукописный экземпляр той самой рецензии, и анализ почерка показал, что ее автором был знаменитый американский логик Алонзо Чёрч, который внес большой вклад в понимание теоремы Гёделя о неполноте.

В рассуждении Чёрча есть отголосок той рекурсивной стратегии, которую использовал Гёдель, но на этот раз речь не идет о математике – только о чистой логике. И если Гёдель доказывает, что существуют математические истины, которые невозможно доказать в рамках конкретной непротиворечивой аксиоматической системы математики, Чёрч заходит на шаг дальше и провозглашает существование истины, которую невозможно познать вообще никакими средствами.

Предположим, что имеется истинное утверждение, об истинности которого мы не знаем. На самом деле таких утверждений множество. Например, мой дом полон игральных костей – в нем есть не только кость из казино, лежащая у меня на столе. Еще есть кости из игры «Монополия», игра «Лудо», кости, завалившиеся за диван, кости, закопанные в том беспорядке, который царит в комнатах моих детей. Я не знаю, четно или нечетно число игральных костей, имеющихся в моем доме. Разумеется, это утверждение само по себе не является неразрешимым вопросом, так как я могу систематически обыскать весь дом и узнать ответ на него. Но так же безусловно, в данный момент я этого ответа не знаю.

А теперь держитесь: каждый раз, когда я перечитываю этот фрагмент, у меня кружится голова. Пусть р – истинное утверждение, выбранное из следующих двух: «В моем доме имеется четное число игральных костей» и «В моем доме имеется нечетное число игральных костей». Я не знаю, какое из этих утверждений истинно, но одно из них должно быть истинным. И из существования непознанной истины можно извлечь существование истины непознаваемой. Непознаваемой истиной является следующее утверждение: «Утверждение р истинно, но неизвестно». Оно несомненно истинно. Почему оно непознаваемо? Потому что его познание означает знание того, что утверждение р истинно и неизвестно, но при этом возникает противоречие, так как утверждение р не может одновременно быть неизвестным и известным. Таким образом, само утверждение «Утверждение р истинно, но неизвестно» представляет собой непознаваемое утверждение. Утверждение р само по себе не является непознаваемым. Как я уже сказал, я могу разыскать все игральные кости, находящиеся в доме, и узнать, четно их количество или нечетно. А вот мета-утверждение «Утверждение р истинно, но неизвестно» непознаваемо. Это доказательство работает во всех случаях, в которых существует что-то истинное, но неизвестное. Единственный выход из этого тупика – уже знать все. Все истины могут быть познаваемы, только когда все истины известны.

Хотя это рассуждение стало известно под названием парадокса, никакого парадокса, как замечает Уильямсон, в нем не содержится. Это попросту доказательство существования непознаваемых истин. И после всех наших путешествий к пределам науки оказывается, что тот пробел, который мы искали, можно получить при помощи хитрого логического трюка.