Прерванная игра

Математическое освоение игры в кости переместилось из Италии во Францию в середине XVII в., когда два крупных игрока, Блез Паскаль и Пьер де Ферма, обратили свои мысли на предсказание будущего этих кувыркающихся кубиков. Проблема понимания исхода броска костей заинтересовала Паскаля после встречи с одним из величайших игроков того времени, кавалером де Мере. Де Мере предложил Паскалю разрешить несколько интересных ситуаций. Одна из них сводилась к задаче, решенной Галилеем. Однако в число других входил вопрос о том, разумно ли ставить на выпадение по меньшей мере одной шестерки в четырех бросках кости, а также ставшая впоследствии знаменитой «задача о ставках».

Паскаль завязал оживленную переписку с великим математиком и юристом Пьером де Ферма, вместе с которым они попытались решить задачи, поставленные де Мере. В случае броска четырех костей можно рассмотреть 6 · 6 · 6 · 6 = 1296 разных исходов и подсчитать, в скольких из них выпадает шестерка, но задача становится при этом довольно громоздкой.

Вместо этого Паскаль рассудил, что в одном броске шестерка не выпадет с вероятностью 5/6. Поскольку все броски независимы, вероятность того, что шестерка не выпадет ни в одном из четырех бросков, равна 5/6 · 5/6 · 5/6 · 5/6 = 625/1296 = 48,2 %. Что означает, что вероятность увидеть шестерку равна 51,8 %. Это чуть больше половины, значит, вполне есть смысл ставить на такой исход.

«Задача о ставках» была еще интереснее. Предположим, что два игрока – назовем их Паскаль и Ферма – бросают игральную кость. Ферма выигрывает партию, если на кости выпадает 4 или более очков; в противном случае эту партию выигрывает Паскаль. Таким образом, при каждом броске кости у каждого из них есть половинный шанс на выигрыш партии. Они поставили на кон 64 фунта, которые достанутся тому, кто первым выиграет три партии. Однако игру прерывают, и продолжить ее невозможно. К этому моменту Ферма выиграл две партии, а Паскаль – одну. Как следует разделить между ними 64 фунта?

Традиционные попытки решения этой задачи были сосредоточены на том, что произошло в прошлом. Может быть, раз Ферма выиграл в 2 раза больше партий, чем Паскаль, то и его выигрыш должен быть в 2 раза больше? Но, если, например, перед тем как игра была остановлена, Ферма выиграл всего одну партию, такое решение становится бессмысленным. Паскаль в таком случае не получает ничего, хотя по-прежнему имеет шанс на победу. Никколо Фонтана Тарталья, современник Кардано, после долгих размышлений пришел к выводу, что решения не существует: «Это вопрос скорее юридический, чем математический, и любой вариант разделения выигрыша может стать поводом для тяжбы».

Однако другие не были готовы признать свое поражение. Они обратили внимание не на прошлое, а на то, что могло бы случиться в будущем. В противоположность первой задаче здесь они попытались не предсказать, как ляжет кость, а представить все возможные варианты будущего и разделить выигрыш в соответствии с разными исходами, благоприятными для того или другого игрока.

Здесь легко впасть в заблуждение. Кажется, что существует три сценария. Если следующую партию выигрывает Ферма, он забирает себе все 64 фунта. Если следующую партию выигрывает Паскаль, то играется еще одна, финальная партия, которую может выиграть либо Паскаль, либо Ферма. Поскольку в двух из этих трех случаев выигрывает Ферма, то, видимо, ему причитаются две трети ставки. В эту-то ловушку и попал де Мере. Паскаль утверждает, что это решение ложно: «Кавалер де Мере – человек очень остроумный, но он вовсе не математик; это, как вы знаете, огромный недостаток»[15]. Вот уж действительно!

Паскаль же, напротив, был великий математик, и он считал, что выигрыш следует разделить иначе. Ферма может выиграть в следующей партии (и получить 64 фунта) с вероятностью 50 %. Но, если в следующей партии выиграет Паскаль, шансы обоих на победу в финальной партии равны, так что выигрыш можно разделить поровну – по 32 фунта каждому. Ферма в любом случае гарантированно получает 32 фунта. Поэтому оставшиеся 32 фунта следует разделить поровну, что в итоге дает Ферма 48 фунтов.

Ферма согласился с анализом Паскаля. «Я ясно вижу, что истина, будь она в Тулузе или в Париже, одна и та же», – писал ему в Тулузу Паскаль.