Несчетная бесконечность
Начинает казаться, что все бесконечности имеют равные размеры. Может быть, если число членов племени достигло бесконечности, никакое другое племя никогда не сможет его превзойти? Но тут появляется еще одно крутое племя, члены которого помечены всеми возможными десятичными представлениями положительных вещественных чисел. Сможет ли племя, члены которого помечены целыми числами 1, 2, 3, …, составить пары с членами этого нового племени? Для начала можно установить соответствие между членом племени с числом 1 и членом племени с числом ? = 3,1415926…, затем между членом племени с числом 2 и членом племени с числом е = 2,71828…. Но как перебрать всех членов этого бесконечного десятичного племени? Есть ли какой-нибудь хитрый способ расположения бесконечных десятичных чисел, позволяющий целым числам проползти их все подобно тому, как Кантор сделал с дробями?
Кантор сумел придумать рассуждение, показывающее, почему, как бы мы ни пытались найти соответствие с племенем целых чисел, он всегда может гарантировать, что все члены племени бесконечных десятичных дробей никогда не будут пересчитаны. Бесконечность всех бесконечных десятичных представлений чисел – это бесконечность действительно более крупного вида, чем бесконечность целых чисел. Это рассуждение так же просто и красиво, и я думаю, что оно тоже вошло бы в число математических теорем, которые я взял бы с собой на необитаемый остров.
Как мог Кантор быть уверен, что он всегда сможет гарантировать существование члена племени бесконечных десятичных представлений, которому не найдется пары? Возьмем одну из моих попыток найти соответствия между племенем целых чисел и племенем бесконечных десятичных дробей.
13,1415926…
22,7182818…
31,4142135…
41,6180339…
50,3331779…
…
Кантор создает такое число в бесконечном десятичном представлении, которое заведомо не содержится в моем списке и не имеет пары среди целых чисел. В каждом десятичном разряде стоит цифра от 0 до 9. В качестве первого разряда Кантор берет цифру, отличающуюся от первого разряда числа, поставленного в пару числу 1. В качестве второго разряда – цифру, отличную от второго разряда числа, соответствующего числу 2.
13,1415926…
22,7182818…
31,4142135…
41,6180339…
50,3331779…
…
Например, бесконечное десятичное число 0,22518… не соответствует ни одному из первых пяти целых чисел, так как эта бесконечная десятичная дробь отличается от первых пяти бесконечных десятичных дробей в моем списке. Так Кантор может найти члена племени бесконечных десятичных чисел, которому не соответствует никакое целое число. Если я скажу, что ему соответствует, скажем, число 101, Кантор попросту ответит: «Проверьте 101-й разряд: он отличается от 101-го разряда этого нового числа».
В этом рассуждении есть некоторые технические тонкости. Например, следует избегать образования числа 0,9999…, поскольку, как мы помним по шутке про математиков и лампочку, оно на самом деле равно числу 1,000…. Но и краткого изложения доказательства достаточно, чтобы показать, что чисел с бесконечным десятичным представлением существует больше, чем целых чисел.
Можно возразить, что такое новое число можно просто добавить в список и сдвинуть все остальные числа на единицу. Но, сколько бы чисел мы ни добавили в список, Кантор всегда может повторить тот же фокус и изготовить еще одну бесконечную десятичную дробь, которой в списке нет. Суть в том, что это рассуждение применимо к любой попытке установления попарного соответствия между целыми числами и бесконечными десятичными дробями – лишние бесконечные десятичные дроби остаются всегда. Это несколько напоминает открытие Гёделя о том, что добавлением к математике недоказуемых истинных аксиом нельзя в конце концов добиться того, что все истинные утверждения станут доказуемы: всегда останутся «лишние» недоказуемые истины. Собственно говоря, Гёдель использовал для доказательства своей теоремы о неполноте прием, похожий на тот, что применил Кантор.
Сам Кантор был искренне удивлен своими открытиями, касающимися бесконечности. Он говорил: «Я это вижу, но я в это не верю».
Появление нескольких разных бесконечностей означало, что введенного Валлисом символа ? уже недостаточно. Более того, идеи Кантора доказали, что существует бесконечно много разных видов бесконечности. Кантор показал, что мы можем заменить слово «много» на более осмысленные названия всех этих разных бесконечностей. Он стал обозначать эти новые бесконечные числа новыми символами, в качестве которых он взял буквы еврейского алфавита. Самая меньшая бесконечность, ?0, была названа «алеф-ноль» по первой букве еврейского алфавита. Кантор, вероятно, знал о ее мистическом значении в еврейской каббале, в которой она обозначает бесконечность Бога. Но для Кантора такой выбор символизировал еще и идею нового начала, отправной точки новой математики. Мне этот момент кажется одним из самых захватывающих в истории математики. Мы как бы впервые научились считать. Но вместо единиц – 1, 2, 3 – мы стали считать бесконечности.
Великий немецкий математик Давид Гильберт признавал, что Кантор создает действительно новую математику. Гильберт объявил, что идеи Кантора – это «самое удивительное произведение математической мысли, одно из наиболее прекрасных воплощений человеческой деятельности в области чистого разума […] Никто не сможет изгнать нас из рая, который создал для нас Кантор». Я, пожалуй, с ним согласен.
Кантор верил, что на самом деле его вдохновляет божественный разум. Он не создавал математику сам, а лишь пересказывал идеи, полученные от Бога. Может быть, именно вера в трансцендентное давала ему смелость поверить и в существование бесконечности. Но преобразование бесконечности из неизвестного в известное было произведено именно трудами математического гения самого Кантора. При этом христианская церковь, вовсе не смущаясь попытками Кантора заглянуть в бесконечное сознание Бога, проявляла живой интерес к возникающим у него идеям. Кантор вел длительную переписку о природе Бога и бесконечности с церковными деятелями.
Однако его идеи нравились не всем. В частности, один из самых влиятельных математиков Германии, Леопольд Кронекер, считал математику Кантора заблуждением, а его самого называл развратителем молодежи:
Не знаю, чего в теории Кантора больше, философии или теологии, но я уверен, что в ней нет математики.
Как известно, Кронекер однажды провозгласил: «Бог создал целые числа. Все остальное – дело рук человеческих». Но творение Кантора было столь революционно, что Кронекер считал его язвой на теле математики. Противодействие Кронекера канторовой бесконечности привело к тому, что Кантор так и не смог получить работы ни в одном из крупных университетов, включая Берлинский, в котором работал Кронекер. Вместо этого он провел всю свою жизнь в заштатном университете города Галле. Кантор пытался бороться и жаловался на поведение Кронекера самому министру просвещения. Но, судя по всему, враждовать с одним из виднейших членов математического сообщества было не самой удачной идеей.
Даже напечатать свои идеи ему было непросто. Другой влиятельный математик той эпохи, Гёста Миттаг-Леффлер, в конце концов отказался принять к публикации работу Кантора, заявив, что она на сто лет опережает свое время. Такой отказ, полученный от глубоко уважаемого им математика, был чрезвычайно сильным ударом для Кантора. Постоянная борьба с авторитетами, битва с тайнами бесконечности, а также смерть матери, брата и в довершение всего младшего из детей Кантора не прошли даром. Кантор страдал приступами маниакально-депрессивного психоза, и математические споры только усугубляли его состояние. Он был госпитализирован в клинику нервных болезней в Галле и провел там большую часть последних десятилетий своей жизни. Разочаровавшись в математике, он занялся религиозными вопросами, а также уделял много времени попыткам доказать, что подлинным автором пьес Шекспира был Фрэнсис Бэкон.
Но предчувствие Миттаг-Леффлера в некоторых отношениях оказалось правильным. Сто лет спустя идеи Кантора считаются одним из самых прекрасных и удивительных достижений за последние триста лет. Кантор позволил математикам прикоснуться к бесконечности, играть с ней, использовать ее в вычислениях, наконец, признать, что бесконечность – это число. И даже не одно число, а бесконечное множество чисел.
Но для самого Кантора бесконечность была не просто идеей, порожденной разумом:
Я настолько за актуальную бесконечность, что вместо того, чтобы допускать, как это делают обычно, что природа ее ненавидит, считаю, что эта бесконечность проявляется в природе всюду, чтобы выразить совершенства ее Творца. Так, я думаю, что не существует никакой части материи, которая не была бы не только делима, но и фактически разделена, а значит, и наименьшую частицу нужно рассматривать как некий мир, заполненный многими различными творениями[128].