И да и нет

Теорема Гёделя о неполноте – это увлекательнейший микрокосм задачи доказательства истины. В отсутствие непротиворечивой аксиоматической системы в теории чисел неизбежно будут существовать истинные утверждения, истинность которых не может быть доказана. Интересно отметить, что, если работать вне системы, можно даже доказать, что некоторое утверждение истинно, но недоказуемо внутри этой системы. Можно сказать: почему бы тогда не перейти в бо?льшую систему? Но Гёдель гарантирует, что и в такой большей системе будут свои недоказуемые истинные утверждения, требующие выхода за пределы уже этой системы. Получается очень знакомая бесконечная регрессия.

Эта ситуация созвучна со многими из тех проблем, с которыми мы разбирались раньше. Может быть, понять Вселенную невозможно, пока мы остаемся внутри ее системы. Если Вселенная описывается квантовой волновой функцией, необходимо ли находиться вне системы, чтобы наблюдать ее? Из теории хаоса следует, что мы не можем понять часть системы как отдельную проблему, потому что электрон, находящийся на другом конце Вселенной, может оказать на хаотическую систему влияние, которое отправит ее в совершенно другом направлении. Чтобы рассмотреть всю систему, необходимо находиться вне ее. Та же проблема касается вопроса о понимании сознания. Мы заперты внутри собственной головы, своей собственной системы, и не имеем доступа к сознанию других. То же, по мнению некоторых, ограничивает и наши возможности постижения такой вещи, как существование Бога, трансцендентного относительно мира, в пределах которого мы заключены.

Другой важный аспект работы Гёделя состоит в том, что в пределах аксиоматической системы теории чисел невозможно доказать, что эта теория согласованна, что она не содержит противоречий. Это же может относиться и к вопросу о действенности методов, которые мы используем для получения знаний о Вселенной. Например, любая попытка объяснить, почему индукция – это правильный метод изучения физических явлений, будет основана на применении индукции. Получается настоящий замкнутый круг.

Однако не все следствия такой ограниченности возможностей математического метода столь мрачны и пессимистичны. Можно сказать, что она привела к открытию того удивительного факта, что существуют такие утверждения о свойствах чисел, которые можно либо считать истинными, либо считать ложными, причем оба эти предположения вытекают из закономерных моделей математики; то есть что существует множество разных видов математики. Можно ли сделать то же самое, когда мы встречаем действительно непознаваемый вопрос об устройстве Вселенной? Если мы найдем вопрос, ответ на который действительно невозможно узнать, было бы вполне логично исходить из гипотезы о том, что этот ответ может быть таким или другим. Выбор рабочей гипотезы отчасти зависит от вероятности одного или другого ответа. Но в некоторых случаях вероятности могут быть несущественны, и наш выбор попадает в зависимость от личных отношений с последствиями работы в рамках данной системы.

Математики свободны от такой необходимости выбора. Я как математик легко могу переходить от одной математической модели к другой, если каждая из этих моделей сама по себе внутренне непротиворечива, хотя они и противоречат друг другу. Например, я могу работать в предположении истинности или ложности гипотезы континуума. Если исходная модель непротиворечива, то непротиворечивы и обе математические модели. Если это необходимо для моей математики, я могу использовать гипотезу континуума для исследования этой конкретной математической вселенной. Можно ли поступить так же в отношении других случаев непознаваемого? Если Бог – это то, что не может быть познано, можно ли сделать выбор, который облечет это неизвестное плотью? Но не сделаем ли мы его таким образом познаваемым и не будет ли это противоречить исходному определению?

Выбор гипотезы, из которой мы исходим, следует производить с осторожностью. Нельзя просто предположить, что нечто неизвестное может быть истинно или ложно. Необходимо доказать, что обе такие возможности непротиворечивы. Например, я не знаю, истинна или ложна гипотеза Римана о простых числах, но лишь один из этих вариантов может быть совместим с нашей теорией чисел. Если окажется, что эта гипотеза недоказуема в рамках имеющихся у нас аксиом теории чисел, на самом деле это будет означать, что она истинна. Если она ложна, мы знаем, что ее ложность доказуема, потому что путем конечного систематического поиска мы сможем найти опровергающие ее примеры. Если она ложна, мы не можем работать в модели, предполагающей ее истинность, так как это приведет к противоречиям. Этим и замечательна гипотеза континуума: как она сама, так и противоположное ей утверждение можно включить в согласованную теорию, не порождая никаких противоречий.

Кое-кто утверждал, что те числа, которые мы пытаемся определить аксиоматически, предназначены для измерений, что это те числа, которые могут быть расположены на линейке. Поэтому предположение о том, что гипотеза континуума должна давать лучшее описание того, что мы пытаемся моделировать, может быть вполне обоснованно. Логик Хью Вудин даже выдвинул недавно доводы, объясняющие, почему гипотеза континуума должна быть ложной для тех чисел, которые мы пытаемся моделировать. Он утверждает, что если эти числа представляют измерения, нанесенные на линейку, то есть основания полагать, что из этого следует существование бесконечных подмножеств промежуточного размера между множеством целых чисел и множеством бесконечных десятичных представлений.

Этот пример иллюстрирует напряженность, существующую в отношениях математики и физики. Математика уже несколько столетий прекрасно уживается с существованием множественных математических вселенных – разных, взаимно исключающих математических моделей геометрии или теории чисел. Но физику, даже если он ничего не имеет против идеи множественных вселенных, все же хотелось бы выяснить, какой из этих возможных вариантов описывает ту Вселенную, частью которой мы являемся.

Представим себе, что ученый-естественник, разработав абсолютно непротиворечивую логическую теорию возможного устройства Вселенной, обнаруживает затем, что она не соответствует экспериментальным результатам, полученным в нашей Вселенной. Такую гипотетическую теорию отбрасывают, и после этого она не представляет никакого интереса для научного мира. Если биолог примется писать статью о гипотетическом животном, которое потенциально могло бы существовать, но на самом деле на Земле не встречается, например о единороге, такая статья никому не будет интересна, если только из нее нельзя будет узнать что-нибудь о животных, которые существуют в реальности. Напротив, в математике такие гипотетические миры превозносятся и приветствуются. Они становятся частью все более богатого ассортимента математических возможностей. Естествознание занимается реальным, математика – возможным. Если естественные науки прокладывают единственный маршрут по дереву возможных вселенных, то математика составляет карту, на которую нанесены все возможные пути.

Но что же делать с неразрешимыми вопросами естествознания? В случае гипотезы континуума не имеет смысла выбирать один или другой ответ на основе вероятностных соображений. Не то чтобы один из них был «истинным», а другой нет. Но можно ли сказать то же самое о непознаваемом в физике, в которой «истина» существует?

Интересно отметить, что в случае физики, когда мы встречаем вопрос, недоступный для познания, один из ответов на него соответствует правильному описанию нашей Вселенной, а другой ему не соответствует. Но по самой природе неразрешимого вопроса мы не можем получить никакой новой информации о Вселенной, которая позволила бы нам решить, какое из ее описаний истинно, а какое ложно. Если мы получаем такую информацию, значит, вопрос с самого начала не был неразрешимым. Так что же случится, если мы станем работать, исходя из ложной гипотезы? А ничего! Как и в случае гипотезы континуума, неверный ответ все равно будет согласовываться с имеющейся у нас теорией устройства Вселенной. У вас будет другая история с другими теоремами и результатами. Если при этом возникают противоречия, это позволяет нам установить, что эта концепция ошибочна, а следовательно, данный вопрос не был подлинно неразрешимым.

Например, взять вопрос о бесконечности Вселенной. Если он неразрешим, то Вселенная либо бесконечна, либо конечна и имеет такие размеры, что ее край навсегда останется за пределами нашего горизонта видимости и, таким образом, вне поля наших исследований. Если она бесконечна, к чему приведет работа в предположении о том, что она конечна, но слишком велика, чтобы ее конечность могла быть доказана? Тут интересно то обстоятельство, что если бы такое предположение порождало затруднения, – если бы оно противоречило существующим теориям или новым данным, – мы смогли бы доказать, что Вселенная бесконечна, и этот вопрос не мог бы быть неразрешимым. Разумеется, в математике такой способ прекрасно используется для доказательства идей бесконечности. Мы доказали, что квадратный корень из 2 не может быть выражен в виде отношения двух конечных чисел, исходя из предположения, что это так, и придя в конце концов к противоречию. Возможно, гипотеза бесконечной Вселенной – это единственное предположение, которое не приводит к противоречиям. Может быть, математика снова оказывается лучшим из имеющихся у нас средств исследования отдаленных пределов Вселенной.

На этом «рубеже» мы увидели, как математике удалось помочь нам ориентироваться даже в самой бесконечности. Поразительно сознавать, что бесконечность некогда считали непознаваемой и часто увязывали с идеей Бога. Декарт писал: «Ведь один только Бог может мыслиться мною положительно как бесконечный»[130]. И тем не менее поразительные открытия, совершенные Кантором в конце XIX в., дали нам возможность исследовать и сравнивать бесконечности. Бесконечность перестала быть недостижимой. Кантора не смущали те последствия, которые его исследование бесконечности может иметь для вопроса о Боге. Более того, он считал, что Бог избрал его, чтобы возвестить миру эти идеи о бесконечности.

Бесконечность играла и играет ключевую роль в исследовании существования Бога. Например, одно из доказательств существования Бога Фомы Аквинского, известное под названием космологического аргумента, утверждает, что все сущее должно иметь творца, но тогда это положение должно быть применимо и к самому творцу. Чтобы избежать бесконечной регрессии, следует признать, что Бог является решением задачи о первопричине. Но математика позволяет нам создавать все новые и новые бесконечности путем рассмотрения всех уже имеющихся бесконечностей и создания их объединения. Поэтому, в противоположность предположению Аквината, никакого окончания такой цепочки творцов не требуется. Каждый раз мы получаем нечто новое, и этот процесс никогда не прекращается.

Хотя математика успешно продолжает строить новые бесконечности из старых, даже математикам становится очень трудно представить себе масштабы нашей математической вселенной. Большинство из них ограничиваются работой на нижних уровнях бесконечного. Но мы знаем, что они составляют лишь часть никогда не кончающейся иерархии. Это создает некоторые трудности для тех, кто пытается определить Бога как «то, превыше чего ничего невозможно себе представить». В некотором смысле такая сущность невозможна, так как всегда существует способ создать нечто еще более великое. Но если вернуться к идее чего-то, превышающего человеческое воображение, то мы снова приходим к тому, чего мы, люди, знать не можем, – биологическим ограничениям нашей способности знать.