Маленькая ошибка и ее большие последствия

Решение Пуанкаре готовилось к изданию в специальном выпуске журнала Acta Mathematica Шведской королевской академии наук. И тут наступил тот самый момент, которого больше всего на свете боится каждый математик. Худший кошмар любого математика. Пуанкаре думал, что его работе ничто не угрожает. Он проверил каждый шаг своего доказательства. И перед самой публикацией один из редакторов журнала усомнился в одном из этапов математического рассуждения.

Пуанкаре считал, что малые изменения положения планет, небольшие округления в некоторых местах, были допустимы, так как они могли вызвать лишь малые изменения предсказанных орбит. Это предположение казалось вполне разумным. Но никакого обоснования этому допущению приведено не было. А в математическом доказательстве каждый шаг, каждое предположение должны быть основаны на строгой математической логике.

Редактор попросил Пуанкаре как-либо объяснить этот пробел в доказательстве. Но, когда Пуанкаре попытался обосновать этот шаг, он осознал, что допустил серьезную ошибку. Пытаясь ограничить ущерб для своей репутации, он написал председателю комитета по присуждению премии Гёсте Миттаг-Леффлеру:

Последствия этой ошибки серьезнее, чем я предполагал вначале. Не скрою от Вас, насколько огорчило меня это открытие […]. Не знаю, признаете ли Вы оставшиеся результаты достойными той высокой награды, которую Вы им присудили. (Во всяком случае, я могу лишь признаться Вам как верному другу в своем замешательстве.) Я напишу Вам подробнее, когда буду яснее понимать положение.

Миттаг-Леффлер решил известить других членов жюри:

Работа Пуанкаре обладает такой редкой глубиной и творческой силой, что она несомненно откроет новую эпоху в анализе и его приложениях к астрономии. Однако разъяснения необходимо значительно расширить, и в данный момент я прошу многоуважаемого автора просветить меня по некоторым важным вопросам.

Сражаясь с возникшей проблемой, Пуанкаре понял, что он попросту был неправ. Даже малое изменение начальных условий может привести к возникновению разительно отличающихся орбит. Предложенное им приближение было недопустимым. Его предположение было ошибочным.

Пуанкаре телеграфировал печальные новости Миттаг-Леффлеру и попытался остановить публикацию своей статьи. Он писал ему в смущении:

Может случиться, что малые различия в начальных условиях порождают чрезвычайно большие расхождения в результирующих явлениях. Малая ошибка в первых порождает огромную ошибку в последних. Предсказания становятся невозможными.

Это сообщение «чрезвычайно озадачило» Миттаг-Леффлера:

Не то чтобы я сомневался в том, что Ваша работа в любом случае будет воспринята большинством геометров как гениальное произведение и станет отправной точкой для всех дальнейших трудов по небесной механике. Не думайте поэтому, что я сожалею о присуждении Вам премии […] Но хуже всего то, что Ваше письмо пришло слишком поздно и статья уже была разослана.

На карту была поставлена репутация Миттаг-Леффлера, который не обнаружил ошибку до публичного присуждения премии Пуанкаре. Не так следовало бы отмечать юбилей монарха! «Пожалуйста, не говорите никому ни слова об этой прискорбной истории. Завтра я сообщу Вам все подробности».

Следующие несколько недель прошли в попытках изъять отпечатанные экземпляры статьи, не возбуждая ничьих подозрений. Миттаг-Леффлер предложил Пуанкаре оплатить печать исходного варианта. Пристыженный Пуанкаре согласился, хотя стоимость тиража составила более 3500 крон, то есть на тысячу больше той премии, которую он изначально завоевал.

В попытке исправить положение Пуанкаре попробовал разобраться со своей ошибкой, понять, где и почему он был неправ. В 1890 г. он написал вторую, расширенную статью, в которой объяснял свое предположение о возможности внезапного разлета, по-видимому, устойчивых систем вследствие чрезвычайно малых изменений.

Открытие Пуанкаре, вызванное его ошибкой, привело к появлению одной из важнейших математических концепций прошлого века – понятия хаоса. Это открытие установило существенные пределы тому, что может познать человечество. Пусть я выписал все уравнения движения игральной кости, но что, если моя кость ведет себя подобно планетам Солнечной системы? В соответствии с открытием Пуанкаре, даже одна маленькая ошибка в определении начального положения кости может разрастись в огромное расхождение исхода броска к тому моменту, как кость закончит свое движение по столу. Значит ли это, что будущее игральной кости из Лас-Вегаса сокрыто завесой математики хаоса?

Хаотическая траектория единичной планеты, вращающейся вокруг двух солнц